Matriz e determinante

Matriz e determinante são ferramentas muito usadas em diversas aplicações geométricas. Saiba mais sobre esse assunto!

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Uma das áreas de bastante importância na matemática é o conteúdo de matriz. Por meio desse conhecimento pode-se resolver uma série de problemas do cotidiano como, por exemplo, os que envolvem geometria analítica. Além disso, entender esse conceito também é necessário para identificar como calcular o determinante. Por isso, confira algumas dicas a respeito de matriz e determinante.

Matrizes

O primeiro passo para dominar esse assunto de matriz e determinante é guardar bem as definições básicas de uma matriz. Toda matriz apresenta dois índices que, geralmente, são chamados de m e n. No entanto, é preciso destacar que existem duas restrições para esses parâmetros que são serem naturais e não nulos.

Com isso, pode-se dizer que uma matriz chama-se m por n aquelas que são formadas por números reais distribuídos exatamente em m linhas e n colunas. As imagens destacadas a seguir mostram alguns exemplos.

Como é possível perceber, o m sempre irá variar de acordo com a quantidade de linhas da matriz, enquanto que o n irá variar de acordo com a quantidade de colunas que a matriz apresenta.

Matrizes quadradas

Esse é o primeiro conceito de matriz e determinante que precisa ser compreendido. Por meio disso, já pode-se identificar as matrizes chamadas quadradas. Todas as matrizes que forem intituladas dessa forma sempre terão os índices m e n iguais, ou seja, m = n. O exemplo destacado a seguir mostram uma matriz genérica de modo a representar todas as matrizes quadradas.

Logo, chama-se matriz quadrada toda aquele que é do tipo n x n, ou seja, número de linhas e colunas iguais.

Outro conceito importante sobre matriz e determinante é a diagonal principal. Define-se o conjunto de elementos que possuem os dois índices (linha e coluna) iguais. Na figura destacada a pouco é possível visualizar melhor essa definição.

Para identificar a diagonal principal basta notar que os elementos que apresentam índices iguais pertencem a diagonal principal. Logo, são os elementos a11, a22, a33, a44…aNN.

Assim como a diagonal principal, também existe a diagonal secundária. A definição desse conceito é a seguinte: chama-se diagonal secundária de uma matriz de ordem n o conjunto de elementos que têm soma dos índices igual a n + 1.

Vale a pena lembra que esses dois últimos conceitos vistos de matriz e determinante só valem para matriz quadradas.

Determinante

Chama-se determinante de uma matriz qualquer M de elementos reais o número que se pode obter por meio da realização de operações com os elementos dessa matriz em questão de acordo com algumas regras que serão destacadas a seguir. Esse número é indicado por det M ou por |M|, onde M são todos os elementos da matriz M.

Para entender esse outro conceito de matriz e determinante, basta ter os seguintes casos em mente:

  • Para qualquer uma matriz M de ordem n = 1 é bastante simples. O det M será igual ao único elemento dessa matriz. Por exemplo, M = [7] => det M = 7.
  • O outro caso sobre esse assunto de matriz e determinante é de ordem n = 2. Para encontrar o det M basta fazer o produto da diagonal principal menos o produtos dos elementos que estão na diagonal secundária. Em caso de dificuldades, confira a representação a seguir:

Como é possível perceber, tanto o primeiro caso quanto o segundo são bastante simples de calcular o determinante da matriz. Novamente, vale a pena destacar que as regras de determinante só fazem sentido quanto se trata de uma matriz quadrada, caso contrário não é possível e não faz sentido falar em determinante.

O último caso desse assunto de matriz e determinante são aquelas de ordem n = 3. O determinante nesse caso é definido da seguinte maneira:

Você deve estar se perguntando se terá que memorizar essa fórmula para encontrar o determinante de uma matriz de ordem 3. Felizmente, existe uma maneira muito fácil de construir essa fórmula e que é muito mais simples, apesar de ser um pouco trabalhosa.

A ideia consiste em selecionar as duas primeiras colunas da matriz e duplica-las após a última coluna, como se fosse uma matriz de m = 3 e n = 5.

Com isso, basta multiplicar cada elemento das diagonais e somar com os das outras diagonais do mesmo sentido. Para finalizar repita esse processo para as diagonais que acompanham o sentido da diagonal secundária, mas sempre multiplicando por -1 cada diagonal secundária. Ao final desse processo, basta somar tudo para encontrar o determinante da matriz.

A seguir, você pode conferir um exemplo genérico, ou seja, para qualquer matriz de ordem 3.

E para concluir o assunto de matriz e determinante, é importante lembrar que matrizes de ordem superior a 3 necessitam de outros procedimentos para encontrar o seu determinante. No geral, quanto maior a ordem maior a dificuldade para encontrar o determinante.

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