As ferramentas da geometria descritiva surgiram graças aos estudos realizados por Tales de Mileto, um grande matemático grego. Uma das maiores mentes pensadoras do século XI a.C, ele recebeu o título de pai dessa área de estudo visto que apresentou diversas inovações nesse campo. Uma delas é bastante conhecida e chamada como o teorema de Tales.
É preciso destacar que essa grande mente, ainda se dedicou a outras áreas de estudo como, por exemplo, em filosofia. Além disso, contribuiu bastante com o desenvolvimento da astronomia.
Embora não se saiba ao certo, se supõe que esse estudioso passou um tempo morando no Egito, onde recebeu o convite para ajudar a identificar o quão grande era uma pirâmide. Ao obter êxito nessa tarefa ganhou bastante notoriedade na sociedade da época.
Os recursos que foram fornecidos eram poucos, mas com a ajuda dos seus próprios estudos, aplicou o que hoje é conhecido como teorema de Tales para realizar o cálculo.
Teoria
O teorema de Tales consiste em um estudo que foi desenvolvido por meio de análises de intersecções entre retas transversais e paralelas. A principal questão que precisa ser entendida para verificar o teorema são as dimensões dos segmentos, ou seja, foi verificado que as retas paralelas e transversais possuíam tamanhos proporcionais.
O desenvolvimento desse estudo começou a ser feito quando Tales observou a forma com que a luz do sol chegava ao planeja. Segundo ele, essa luminosidade chegava de forma inclinada, ou seja, diagonal. Foi com base nessa premissa de que foi capaz de verificar a regra de proporcionalidade que existe entre retas paralelas e as transversais relacionadas.
Formulação do teorema
A ideia por trás do teorema de Tales é a de que se existirem duas retas transversais que cortem outros segmentos paralelos entre si, é possível concluir que existe uma relação de razão entre quaisquer segmentos identificados em uma transversal quando comparado a outros dois segmentos de outra linha transversal.
A imagem seleciona possibilita visualizar isso melhor. A primeira conclusão que é preciso fazer é verificar que existem segmentos paralelos visto que esses são considerados elementos básicos para a resolução do problema.
Vale a pena esclarecer que essa relação não está restrita a apenas duas linhas, ou seja, pode ocorrer de encontrar exercícios que apresentam mais do que dois segmentos paralelos. É possível observar as retas r, s e t são paralelas e cortam as retas transversais u e v.
Com base no teorema de Tales, é possível tirar algumas conclusões a respeito desse exemplo.
- Os pontos correspondentes são C e F, B e E, A e D
- Já os segmentos correspondentes são CB e FE, BA e ED, CA e FD
A identificação dessas informações pode facilitar bastante a resolução do exercício, principalmente, durante essa primeira etapa, mas com o tempo encontrar os pontos e os segmentos correspondentes passará a ser realizado de forma automática pelo cérebro.
Além disso, deve-se ainda destacar que de acordo com o teorema de Tales é possível obter as seguintes relações de igualdade:
- CB/BA = FE/ED
- CA/CB = FD/FE
- CA/BA = FD/ED
Exemplo
Os principais pontos a respeito dessa teoria já foram destacados assim como as devidas relações necessárias para a resolução de problemas. Confira, exemplos de aplicações do teorema de Tales.
Os segmentos a, b e c são paralelos e cortados pelos segmentos transversais r e s. Os pontos que pertencem a reta a r são o F, G e H sendo que FG é igual a 4 e GH vale 2. Enquanto que os pontos M, N e O pertencem a reta s com MN = 8 e NO = x. Essas informações estão todas destacadas na imagem a seguir. Com base nesses dados calcule o valor de x.
O primeiro passo que precisa ser feito para resolver esse exercício, é encontrar as relações existentes entre os seguimentos conforme apresentado pelo teorema. Nesse caso, tem-se que as retas a, b e c são paralelas entre si, enquanto que as retas r e s são transversais. Conforme destacado na figura, cada uma das intersecções é identificada por uma letra.
Caso exercício não apresenta essas informações claramente, é aconselhável denominar cada informação dessa que foi citada para facilitar a resolução do exercício. Feito isso, já é possível realizar a seguinte conclusão:
- FG/GH = MN/NO
Essa é a única informação que é preciso retirar do exercício para que seja solucionado. Com isso, basta substituir os respectivos valores para determinar o valor de x, conforme destacados pelos passos a seguir:
- FG = 4
- GH = 2
- MN = 8
- NO = x
- FG/GH = 4/2 = 2
- MN/NO = 8/x
- FG/GH = MN/NO 2 = 8/x 2x = 8 x = 8/2 x = 4
Como visto, não existe muito segredo a respeito do teorema de Tales. Para resolver os exercícios que abordam esse assunto, basta destacar as principais informações dos segmentos e seus pontos para que consiga resolvê-lo.
