Equação modular

Um dos conteúdos mais importantes para o ENEM e vestibulares é, sem dúvida, a equação modular, por isso não deixe de conferir!

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Um dos temas mais cobrados em provas como o Enem e em outro vestibular é, sem dúvida, a equação modular, por isso é fundamental que domine esse assunto antes de realizar essas avaliações.

Somente depois de compreender bem o que é uma equação modular assim como as suas propriedades, vale a pena destacar que é preciso realizar muitos exercícios para fixar o conteúdo. Após isso, será necessário entender o que muda quando é inserido um módulo em uma função, ou seja, como o gráfico da função fica.

Módulo

Contudo, antes de dominar o assunto de função modular é preciso relembrar uma definição importante que é o módulo de um número. O módulo nada mais é do que do que um operador que retorna a distância de um número até o valor 0. Para ficar mais claro, confira os exemplos a seguir:

  • Seja o número 14, o módulo desse valor é a distância de 14 até o valor 0, ou seja, para se deslocar do 14 até o 0 é preciso andar exatamente 14 unidades para chegar até o 0. Portanto, é possível concluir que o resultado da operação módulo 14 é simplesmente 14.
  • Seja agora o número -14, o módulo desse valor é a distância de -14 até o valor 0, ou seja, para se deslocar de -14 até o 0 é preciso andar exatamente 14 unidades para chegar até o 0. Portanto, é possível concluir que o resultado da operação módulo -14 é simplesmente 14.

Você deve estar se perguntando se esse resultado está correto já que tanto o módulo 14 quando módulo -14 deram o mesmo resultado, mas é exatamente isso. O objetivo da equação modular é simplesmente fornecer a distância de um ponto a outro, logo independe do valor -14 ou 14 o resultado será 14, pois essa é a distância entre o 14 ou -14 até o 0.

Assim como as outras operações que possuem um símbolo para identifica-las, a equação modular também tem e é representada dessa maneira |número|. Ou seja, no caso dos exemplos anteriores ao invés de escrever módulo 14 ou módulo -14, pode-se simplesmente escrever |14| ou |- 14|.

Exemplos

As equações modulares vistas até agora foram exemplos mais simples para facilitar o entendimento, no entanto é preciso conferir outros casos mais interessantes para que possa assimilar melhor o conteúdo. Por isso, não deixe de analisar os exemplos a seguir:

  • A equação modular |- 5| tem resultado 5
  • |800| = 800
  • |- 89,21| = 89,21
  • |- log 2| = log 2
  • |89| = 89
  • | | =

Propriedades

Além de conhecer a definição da equação modular, ainda é importante estudar algumas propriedades dessa operação visto que serão muito úteis na resolução de diversos exercícios e também irá ajudar a resolver exercícios que parecem difíceis com mais facilidade.

Com base nos exemplos já vistos é possível tirar uma conclusão que é: todos os números positivos dentro do módulo permanecem positivos, enquanto que todos os valores negativos se tornam positivos. De modo mais formal, tem-se a seguinte propriedades:

  • Seja x um número qualquer, mas maior que 0, ou seja, x é positivo. Logo, tem-se que |x| = x.
  • Seja x um número qualquer, mas menor que 0, ou seja, x é negativo. Logo, tem-se que |x| = – (-x) = x.

Para ficar mais fácil de assimilar essa última propriedade, basta ter em mente que quando o valor que estiver dentro da função módulo for negativo será preciso multiplicar o número por -1. Logo, a definição do módulo fica assim:

  • |x| = x, se x for positivo, ou seja, x > 0.
  • |x| = – x, se x for negativo, ou seja, x < 0.

Equação modular

Quando se deparar com casos que existe apenas números bem definidos dentro do módulo, ou seja, sem nenhuma incógnita, basta seguir as propriedades vistas para conseguir calcular tranquilamente a distância do valor até o número 0. Entretanto, quando houver alguma incógnita dentro da função módulo será preciso analisar em casos conforme a definição do módulo.

Confira alguns exemplos e como resolver cada caso:

Esse é um exemplo muito interessante visto que é possível perceber como proceder quando a função modular tiver uma incógnita. Ao conferir o passo a passo, pode-se concluir que conforme a definição é preciso dividir a resolução em dois casos, ou seja, quando a incógnita é maior que 0 e quando a incógnita é menor que 0.

Por meio dessa divisão de casos, para finalizar e resolver a função modular, basta aplicar a definição de módulo. Como a função modular no exemplo dado possui dois casos, a solução da equação é x = 2 ou x = -6.

Assim como as demais equações como, por exemplo, de primeiro e segundo grau, é possível conferir o resultado atribuindo os valores soluções encontrados para x. Se caso o resultado for igual em ambos os lados da equação modular o seu resultado estará correto.

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