Plano cartesiano

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O plano cartesiano é uma ferramenta inventada por René Descartes que consiste em dois eixos perpendiculares. O horizontal é denominado o eixo das abscissas enquanto que o eixo vertical é chamado das ordenadas.

Antes da existência dessa forma de localização não existia um padrão simples e rápido de se marcar pontos em um determinado plano, mas com a ideia Descartes foi possível identificar exatamente a localização de um determinado objeto por meio desse sistema de coordenadas.

Foi graças a essa invenção que hoje se pode definir bem uma reta ou até mesmo construir outras figuras como, por exemplo, o triângulo com base nesse sistema de coordenadas. Por possuir uma grande importância para os dispositivos de localização é fundamental conhecer bem esse instrumento.

Coordenadas

O plano cartesiano se estende infinitamente em todas as direções. Para mostrar isso, os livros didáticos de matemática costumam colocar setas nas extremidades dos eixos em seus desenhos.

A localização de um ponto no plano é dada por suas coordenadas que, geralmente, é representado por um par de números entre parênteses sendo que o primeiro valor é correspondente a posição de um ponto em realização ao eixo das abcissas, enquanto que o segundo número entre os parênteses é referente ao eixo das ordenadas.

Outro ponto que merece ser destacar antes de continuar, é a origem que é localizada exatamente na intersecção entre os eixos é o ponto de origem que também pode ser representado por (0,0). Todas as posições no plano cartesiano são medidas em relação a ponto de origem.

Por exemplo, o ponto (5,2) deve ser entendido como um ponto que se encontra deslocado exatamente 5 unidades para a direita da origem e 2 unidades para cima. Além disso, também é importante ter em mente que é possível definir uma coordenada negativa.

Quando isso ocorrer deve-se direcionar para o lado esquerdo quando o número negativo estiver no eixo da abcissa, enquanto que um valor negativo no eixo das ordenadas deve-se direcionar para baixo.

Por exemplo, o ponto (-5, -2) precisa ser compreendido como um ponto que se encontra descolocado exatamente 5 unidades para a esquerda, pois é negativo e duas unidades para baixo visto que o segundo valor também é negativo.

O plano

Outra informação muito importante a respeito do plano cartesiano que precisa ser entendida é que o seu sistema de eixos de coordenadas é dividido em quatro quadrantes sendo numerados de I a IV. O primeiro quadrante fica localizado no canto superior direito, o segundo no canto superior esquerdo, terceiro no canto inferior esquerdo e o quarto fica no canto inferior direito.

Como é possível perceber a identificação de cada quadrante segue o sentido anti-horário a partir da definição do primeiro quadrante. Além disso, para identificar cada quadrante os matemáticos também têm o costume de utilizar os números romanos para isso mesmo que não exista alguma razão clara para justificar esse fato.

Quadrantes

Ao analisar cuidadosamente essas divisões do plano cartesiano é possível tirar algumas conclusões muito importante e que serão fundamentais para outras aplicações, principalmente, na trigonometria.

  • No primeiro quadrante, é possível concluir que quaisquer pontos marcados nesse espaço irão sempre ter coordenadas com valores positivos.

  • No caso do segundo quadrante, as coordenadas marcadas nesse espaço terão sempre o valor da abcissa negativa, enquanto que o número do eixo das ordenadas será sempre positivo.

  • No terceiro quadrante, todos os pontos marcados nesse espaço terão os valores negativos, ou seja, tanto o eixo da abcissa quanto o das coordenadas será negativo.

  • Por fim, o quarto quadrante terá o valor da abcissa positivo e o número do eixo das coordenadas negativo.

Ao entender essa característica do plano cartesiano, ficará mais fácil realizar as identificações do ponto assim como também marca-los nos locais corretos. O único caso que precisa de um pouco de atenção para não se confundir sobre qual quadrante está o ponto marcado é quando está sobre algum eixo, ou seja, quando alguma coordenada possui pelos menos um valor igual 0.

Nesses casos, é dito que o ponto não está em qualquer quadrante. Por exemplo, os pontos a seguir não estão definidos em nenhum quadrante, pois estão sobre algum dos eixos: (0,2), (0,0), (1,0), (-1,0) ou (0, -2).

Tridimensional

O plano cartesiano visto até agora tinha como característica apenas duas dimensões que eram construídas pelos eixos da abcissa e da ordenada. No entanto, muitas aplicações matemáticas vão mais além que isso ao explorar a construção de figuras com base nesse sistema de localização, mas com base em um plano com três ou mais eixos.

Geralmente, esse sistema de coordenadas tridimensional é utilizado para a construção de desenhos gráficos que possuem volume. Assim como o de duas dimensões, o tridimensional também apresenta eixos que se cruzam em um ponto chamado origem. Além disso, nesse sistema para conseguir localizar um determinado ponto, agora é preciso de três informações referentes, respectivamente, ao eixo x, y e z.

O plano cartesiano é, sem dúvida, um dos conteúdos mais importantes da matemática, visto que é a ferramenta usada para muitas outras aplicações.

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