Em muitos problemas matemáticos exige-se que o estudante tenha domínio de conteúdos como alguns métodos e técnicas, pois são essenciais para o entendimento do assunto assim como também se faz necessário para o entendimento sobre o tópico abordado. Para compreender a importância do estudo das progressões aritméticas, deve-se destacar que já era um estudo realizado desde a época antes de Cristo.
Entretanto, antes de conhecer a definição os principais termos sobre o assunto, para dominar as técnicas que fundamentam a progressão aritmética, é necessário conhecer dois tópicos muito importantes que são a base da teoria dessa importante aplicação matemática que são, respectivamente, sequencias e séries numéricas.
Sequências
Uma sequência numérica nada mais é do que um conjunto de números que podem ser escritos de forma a respeitar uma determinada ordem como, por exemplo, a sequência definida pelos números ímpares que pode ser representada da seguinte maneira:
-
1, 3, 5, 7, 9, …
Assim como destacado é possível concluir que existe uma regra responsável por construir a sequência que são os números impares, ou seja, começa com o número 1 e para obter o próximo termo deve-se adicionar 2. Isso é um conceito simples, mas que é fundamental para o entendimento da progressão aritmética.
Outros exemplos de sequencias definidas pela regra dos números ao quadrados e de números que alternam entre 1 e -1 são representados, respectivamente, abaixo:
- 1, 4, 9, 16, 25, …
- 1, -1, 1, -1, 1, …
Um ponto que merece ser destacado é que as sequências podem representar um conjunto infinito de números. Por outro lado, também pode-se ter um conjunto com um número de elementos finitos, ou seja, pode ser da forma:
- 1, 3, 5, 7, 9, …, N.
Nesse caso, o N assumi o papel de representar o último termo da sequência. Isso ajuda a facilitar o trabalho, pois não é necessário escrever todos os valores explicitamente. Além disso, pode-se representar cada termo por uma letra acompanhada por índice para representar o primeiro elemento, segundo e assim sucessivamente.
Uma sequência muito famosa é a de Fibonacci que é definida por:
Séries
As séries também são muito importantes para a compreensão da progressão aritmética que nada mais é do que uma soma de uma sequência qualquer. Portanto, chama-se de série numérica uma expressão do tipo:
Também pode ser representada de forma mais simplificada com a utilização do somatório:
Outro conceito importante sobre séries é as somas parciais. Basicamente, é definida pela soma dos termos até um determinado índices que irá depender da soma que se deseja realizar, ou seja, a soma de índice 2 envolverá apenas os dois primeiros termos, a soma de índice 3 envolverá apenas os três primeiros termos e assim sucessivamente. De modo geral, tem-se a seguinte relação:
A formula geral para as somas parciais é dado por:
Progressão aritmética
Define-se progressão aritmética (P.A) como sendo uma sequência numérica que possui uma certa regra de construção para cada termo a partir do segundo que é: a soma do termo anterior com uma constante. Em uma P.A, essa constante que é somada recebe um nome especial, pois é de suma importante para essa aplicação matemática que é razão que geralmente, é representada pela letra r ou d.
Para ficar mais claro, considere as duas sequências numéricas destacadas a seguir:
-
1, 3, 5, 7, …
-
0, 10, 20, 30, 40, …
É fácil identificar a regra que define a construção dessas sequências. A primeira pode ser construída definido o primeiro termo como 1 e os próximos podem ser obtidos pela adição do valor 2 ao termo anterior. Já o segundo exemplo, pode ser construído de forma análogo, contudo o termo inicial e o valor a ser adicionado ao termo anterior são diferentes. Apenas isso.
Vale destacar que nesses casos foi adicionado ao termo anterior uma constante de valor positivo, mas o mesmo valeria caso esse valor fosse dado por um número negativo.
Pode-se usar a notação algébrica para representar de modo geral a construção de progressão aritmética. No primeiro exemplo, é fácil notar que existe a seguintes relações:
Se definir o primeiro termo como sendo representado pela letra a e a razão ou constante da sequência como sendo d, é possível verificar que é válido afirmar que cada termo pode ser expresso da seguinte maneira:
Logo, de modo geral pode-se escrever uma formula para representar qualquer P.A. Ou seja:
Isso é válido, pois se existir um total de N termos sempre haverá ao menos n-1 diferenças entre eles. Portanto, toda P.A pode escrita dessa forma, basta encontrar o valor inicial e a razão da sequência numérica. Vale destacar que é imprescindível o conhecimento dessas duas informações para a aplicação da formula.
Para finalizar, é importante ter em mente que existe alguns tipos de progressão aritmética sendo que as mais importantes são as que apresentam uma sequência decrescente, as que são crescentes e as que são constantes, ou seja, possuem, respectivamente, uma razão negativa, uma razão positiva e uma razão igual 0.
