Equação do segundo grau

Entenda melhor o que são equações do 2º grau e como utilizar o método de Bhaskara para encontrar seus resultados!

Equação do segundo grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui, como já vimos incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são classificadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas.

Veja:

2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.

Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes (resultados), isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Método de Bhaskara

Exemplo 1:

Vamos resolver a seguinte equação do segundo grau, usando o método de Bhaskarax² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte formação padrão: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos os coeficientes. Veja:

Bhaskara

Primeira etapa: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

= b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

Segunda etapa:

 

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Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Exemplo 2: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

a = 1
b = 8
c = 16

Determinar o valor do discriminante ou delta (Δ)

= b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

Resolvendo:

 

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No exemplo 2, observamos que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, haverá na equação somente uma solução ou raíz única.

Exemplo 3: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

= b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.

Exemplo de exercício e sua resolução:

(PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x² + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v² + w² é igual a:

Com os coeficientes da equação podemos identificar como a = 1, b = a e c = b. Agora aplicando à fórmula de Bhaskara esses valores:

 

 

Δ = a² – 4.1.b

Δ = a² – 4b

Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, iremos considerar como v o resultado com a raiz quadrada positiva e como w o resultado com a raiz quadrada negativa. A soma dos quadrados de v e w é dada por: v² + w²



Como possuem sinais opostos, os dois termos com raiz serão cancelados, restando apenas:

a² + a² – 4b + a² + a² – 4b
4
4a² – 8b
4
a² – 2b

Resposta: a² – 2b

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