Uma equação é uma expressão matemática que possui, como já vimos incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são classificadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas.
Veja:
2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes (resultados), isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Método de Bhaskara
Exemplo 1:
Vamos resolver a seguinte equação do segundo grau, usando o método de Bhaskara: x² – 2x – 3 = 0.
Uma equação do 2º grau possui a seguinte formação padrão: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos os coeficientes. Veja:
Primeira etapa: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
Segunda etapa:
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo 2: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
Determinar o valor do discriminante ou delta (Δ)
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
Resolvendo:
No exemplo 2, observamos que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, haverá na equação somente uma solução ou raíz única.
Exemplo 3: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364
Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.
Exemplo de exercício e sua resolução:
(PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x² + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v² + w² é igual a:
Com os coeficientes da equação podemos identificar como a = 1, b = a e c = b. Agora aplicando à fórmula de Bhaskara esses valores:
Δ = a² – 4.1.b
Δ = a² – 4b
Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, iremos considerar como v o resultado com a raiz quadrada positiva e como w o resultado com a raiz quadrada negativa. A soma dos quadrados de v e w é dada por: v² + w²
Como possuem sinais opostos, os dois termos com raiz serão cancelados, restando apenas:
a² + a² – 4b + a² + a² – 4b
4
4a² – 8b
4
a² – 2b
Resposta: a² – 2b
