Equação do primeiro grau

Uma equação é do primeiro grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na forma ax = b, com a ≠0.

1. 4x = 7 é equação do primeiro grau com incógnita x, onde a é igual a 4 e b é igual a 7.

2. -5y = 0 é equação do primeiro grau com incógnita y, onde a é igual a -5 e b é igual a 0.

3.  é equação do primeiro grau com incoginta r (equivale a
   

4. é equação do primeiro grau com incógnita x (equivale a 4x = 14)

5. é equação do primeiro grau com incógnita n (equivale a

Exemplos:

1. Qual é o número cujo triplo somado com 10 dá 91?

Número: n

Triplo do número: 3n

Equação: 3n + 10 = 91

3n = 91 – 10

3n = 81

n = 81/3

n = 27

Logo, o número pedido é 27.

2. Tirando 5 da metade de um número obtemos 11. Que número é esse?

Número: y

Metade do número:

Equação:

Logo, o número pedido é 32.

A igualdade traz a ideia de equilíbrio, como uma balança de dois pratos em equilíbrio. Se colocarmos 5 latas de um lado da balança, e cada lata pesa 100g, teremos um total de 500g desse lado da balança. Devermos então, colocar no outro lado da balança 50 barras de ferro de 10g para que mantenha o equilíbrio. Ou ainda colocar um peso de 60g, mais 3 latinhas, mais um peso de 120g, mais um peso de 20g, chegando ao mesmo total do outro prato da balança.

A equação correspondente a essa situação é: 5x = 50y, sendo x = 100 e y = 10. No segundo caso representamos: 5x = 60 + 3x + 120 + 20

Exemplo com resolução de problemas:

1. Paulo distribuiu 21 figurinhas para três amigos da seguinte forma: Lúcio recebeu 5 figurinhas a menos que Alberto, e Carlos recebeu o dobro de Lúcio. Quantas figurinhas recebeu cada um?

Vamos representar os números de figurinhas que Alberto recebeu por x.

Logo, Lúcio recebeu x -5

E Carlos recebeu 2(x -5) -> Aqui usamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos os dois elementos dentro do parênteses pelo coeficiente que está colado a ele, que no caso, é o número 2, logo 2 . x = x; 2 . -5 – -10

Se o total de figurinhas é 21, montemos a equação da seguinte maneira:

21 = x + (x -5) + 2(x – 5)

Arrumando para facilitar:

x + (x-5) + 2(x – 5) = 21

x + x -5 + 2x – 10 = 21

Isolamos agora a incógnita de um lado e os coeficientes do outro, observando que quando os termos trocam de lado na equação, as operações se invertem, logo, o que era positivo vira negativo e vice-versa, e o que era multiplicação vira divisão e vice-versa.

x + x + 2x = 21 + 5 +10

4x = 36

x = 9

Logo, Alberto recebeu 9 figurinhas.

Lúcio recebeu: x -5 = 9 -5 = 4 figurinhas

E Carlos recebeu 2(x-5) = 2(9 – 5) = 2 . (4) = 8 figurinhas

Conferindo:

x + (x – 5) + 2(x – 5) = 21

9 + (9 – 5) + 2(9 – 5) = 21

9 + 4 + 2 (4) = 21

13 + 8 = 21

21 = 21 -> uma igualdade, logo aí está a prova real de que os resultados do problema estão corretos.

Aplicando equação: geratriz de uma dízima periódica.

Sabemos que algumas frações escritas na forma de número decimal correspondem a dízimas periódicas. E o inverso? Dada uma dízima periódica simples, como descobrir a fração corresponde a ela (sua geratriz)?

Nas dízimas periódicas simples, a parte periódica começa logo após a vírgula.

Exemplo:

Dada a dízima 0,777….

x = 0,7777….

10 x = 7,777…

10 x = 7 + 0,777…

Se x é igual a 0,777…

10 x = 7 + x

10 x – x = 7

9x = 7

X =

Outro exemplo:

Dada a dízima 0,1313131…

x = 0,1313…

100x = 13,131313…

100x = 13 + 0,131313…

Sendo x = 0,1313131….

100x = 13 + x

100x – x = 13

99x = 13

x =

REGRA PRÁTICA: Escrever no numerador o número formado pela parte periódica e, no denominador, o número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do numerador.

Nas dízimas periódicas compostas, após a vírgula, vem inicialmente, uma parte não periódica; depois, vem a parte periódica.

Por exemplo< 0, 4211111….. e 0,212121… são dizimas periódicas compostas.

Para acharmos a geratriz da dízima periódica composta vamos usar equações e dízimas periódicas simples, como nos exemplos abaixo:

1. Dada a dízima = 0,25555….

x = 0,2555….

10 x = 2,5555…..

10x = 2 + 0,5555….

Se 0,5555 equivale como vimos em dizima simples a , temos:

10 x = 2 +

Multiplicando todos os termos por 9:

90x = 18 + 5

90 x = 23

x =

Então 0,2555….. =

2. Dada a dízima = 0,31222….

x = 0,312222….

100x = 31,2222….

100x = 31 + 0,222….

100 x = 31 +

900x = 279 +2

900x = 281

X =

Logo, 031222….=