Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é um método para resolução de equações de segundo grau de fórmula ax²+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0, ou seja, encontrar as raízes reais.

Seu nome vem a homenagear um matemático indiano Bhaskara Akari que a demonstrou, sendo este considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

Em sua forma original, a fórmula de Bhaskara é dada pela seguinte expressão:

Para utilizar essa fórmula, é preciso lembrar que toda equação do segundo grau deve ser escrita da seguinte maneira:

Resolver uma equação do segundo grau é encontrar valores numéricos de x (ou a incógnita presente na equação), fazendo com que essa equação seja igual a zero.

O método resolutivo de Bhaskara apenas exige que o valor numérico de cada coeficiente seja substituído na fórmula de Bhaskara, após isso, basta realiza as operações matemáticas indicadas pela fórmula para obter as soluções ou raízes da equação.

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o complemento de quadrados. Seja:

ax²+bx+c=0
a²x²+abx+ac=0
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx+b²+4ac=b²
(2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac

A importância da Fórmula de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Física por exemplo.

Etapas para uso da fórmula:

1. Calcular a discriminante. 

A Discriminante é a expressão presente dentro da raiz na fórmula de Bhaskara, comumente representada pela letra grega Δ (Delta).

Chamamos de discriminante: Δ = b²-4ac

Esta discrimina os resultados de uma equação da seguinte maneira:

Δ < 0, então a equação não possui resultados reais;

Δ = 0, então a equação possui apenas um resultado real ou possui dois resultados (raízes) iguais (essas duas afirmações são equivalentes);

Δ > 0, então a equação possui dois resultados (raízes) diferentes.

Sendo assim, para calcular as raízes de uma equação do segundo grau calcule o valor numérico de Δ.

2. Substitua a discriminante e coeficientes na fórmula de Bhaskara.

Geralmente a fórmula de Bhaskara é ensinada apenas da seguinte maneira:

Nessa etapa, substitua os valores de Δ e dos coeficientes da equação do segundo grau na fórmula acima.

3. Calcule as raízes da equação

Note que na fórmula de Bhaskara existe um sinal de “±”. Esse sinal indica que devem ser realizados 2 cálculos. O primeiro para o caso em que o número que o segue seja positivo e p segundo para o caso em que o número que o segue seja negativo.

Exemplos:

1. Calcule as raízes da equação x + 12x – 13 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, separe os coeficientes da equação e realize a primeira etapa:

a = 1, b = 12 e c = -13

Δ = b² – 4ac

Δ = 12² – 4·1·(– 13)

Δ = 144 + 52

Δ = 196

Tendo em mãos o valor de Δ, realize a segunda etapa:

Por fim, realize a terceira etapa para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

 

Portanto, as raízes da equação x² + 12x – 13 = 0 são 1 e – 13.

 

2. Calcule as raízes da equação 2×2 – 16x – 18 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, separe os coeficientes da equação e realize a primeira etapa:

a = 2, b = – 16 e c = – 18

Δ = b2 – 4ac

Δ = (– 16)2 – 4·2·(– 18)

Δ = 256 + 144

Δ = 400

Tendo em mãos o valor de Δ, realize a segunda etapa:

x = – b ± √Δ
2·a

x = – (– 16) ± √400
2·2

x = 16 ± 20
4

Por fim, realize o terceiro passo para encontrar as raízes da equação do segundo grau:

 

Portanto, as raízes da equação 2x² – 16x – 18 = 0 são 9 e – 1.