Equação

Equação

A equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais variáveis, são expressões algébricas que representam uma determinada situação problema. Utilizam-se incógnitas, representadas por letras, como “x” e “y”, para representar números desconhecidos ou indeterminados. Resolver uma equação é encontrar todos os números possíveis que possam tornar a equação verdadeira. A solução da equação também pode ser chamada de raiz da equação.

Vamos analisar algumas situações:

1ª- Uma empresa recicla 12 toneladas de plástico a cada 5 meses, sempre a mesma quantidade a cada mês. Usando x como indicador da quantidade plástico reciclado, podemos representar a situação pela seguinte sentença matemática: 5 . x = 12

2ª – Alexandre e Cláudia foram a um restaurante. Na hora de pagar a conta, eles decidiram dividi-la assim: Alexandre pagaria o dobro do que Cláudia pagasse. O valor da conta foi de R$ 27,00. Quanto cada um deveria pagar?

Para fazer o cálculo da quantia de cada um, pode-se indicar por x a quantia paga por Cláudia e por 2x a quantia a ser paga por Alexandre.

Pensando assim, montamos uma sentença matemática para descrever essa situação juntando as quantias pagas pelos dois.

Alexandre + Cláudia = Total

2x + x = 27

Nas situações acima, tanto 5 . x = 12, como 2x + x = 27 são equações.

Na equação -8x – 4 = -2x + 14, a expressão à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro, já a expressão à direita do sinal de igualdade é chamada de segundo membro. NO termo -8x, do primeiro membro, o número -8 é um coeficiente e a letra x é uma incógnita.

O termo 14 do segundo membro, por exemplo, é uma constante, pois não varia em função de qualquer incógnita.

Raiz ou solução de uma equação: A igualdade 3x – 5 = x + 15 é uma equação verdadeira quando x = 10, pois neste caso ambos os lados da expressão resultarão no mesmo valor 25, já que 3 . 10 – 5 = 10 + 15, ou seja, 25 = 25. Neste exemplo o número 10 é a raiz ou solução da equação, pois ao substituir a incógnita torna a equação verdadeira.

Conjunto Universo: Contém todos os valores possíveis que representem a(s) incógnita (s). É indicado pela letra U.

Dada a equação 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incógnita x só pode assumir os valores -2, 0 e 2, temos então que o conjunto universo desta equação é:

U = { -2, 0, 2 }.

O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto dos valores de U que são raízes da equação, ou seja, são os valores que ao substituírem as incógnitas tornam a equação verdadeira. Indica-se por V ou S.

Para a equação 2x + 4 = 0, cujo conjunto universo é U = { -2, 0, 2 }, temos que destes três elementos apenas o elemento -2 torna a equação verdadeira, pois 2 . (-2) + 4 = 0, temos então que o conjunto verdade ou solução é:

V = { -2 } ou S = { -2 }.

Equações equivalentes

Duas equações são ditas equivalentes quando possuem uma mesma raiz ou solução.

Exemplo: 3x -5 = x + 15 e 3x = x + 20, são equações equivalentes, pois em ambas, se trocarmos o x por 10, a igualdade será verdadeira. 10 é a raiz das duas equações.

Princípio aditivo da igualdade

Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ainda teremos uma igualdade.

Tomando-se como exemplo a igualdade 3x – 5 = x + 15, utilizada anteriormente acima, se somarmos o número 5 em ambos os seus membros teremos a igualdade 3x – 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe que a raiz ou solução desta equação é igual à raiz da equação original, ou seja, para que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue sendo igual a 10.

Observe que se subtrairmos x dos dois membros da equação 3x = x + 20 ainda continuaremos com uma igualdade:

3x – x = x + 20 – x, que é equivalente a 2x = 20.

Atente ao fato de que a raiz da equação 2x = 20 também é igual a 10, pois 2 . 10 = 20.

Princípio multiplicativo da igualdade

Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, ainda teremos uma igualdade.

Se dividirmos ambos os membros da equação 2x = 20 por 2, teremos a equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à equação x = 10, cuja raiz obviamente é igual a 10.

Exemplo com resolução de problema:

Numa papelaria temos o preço de um caderno em reais, representado por x e o preço de outros materiais escolares representados a partir de x.

Caderno = R$ x

  1. O preço do compasso é o dobro do preço do caderno:

x + x ou 2 . x ou 2x

  1. A régua custa R$ 3,00 a menos que o caderno:

x – 3

  1. O livro custa R$ 9,00 a mais do que o compasso:

2x + 9

  1. O preço do lápis é a metade do preço da régua:

(x – 3) : 2 ou

  1. Se o valor de x é R$15,00 qual o valor do livro?

O compasso é representado por 2x, ou seja: 2.15 = 30,00

O livro é representado por 2x +9, ou seja, 2.15 + 9 = 30 + 9 = 39,00, ou ainda, se o compasso custa 30,00 e o livro custa 9,00 a mais do que o compasso, então:

30 + 9 = 39

Logo, o valor do livro é R$ 39,00

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